摘 要：提出在各种测量精度及误差不同分布形式下，实际处理实验不确定度的几种近似方法。
关 键 词：测量误差；分布形式；不确定度；实际处理
中图分类号: O4-34 文献标识码：A 文章编号：1000-274X(2003)0048-04
任何测量都存在误差，由于测量的客观真值无法得知及测量条件的非理想化，使误差大小无法确定。为了使测量误差减到最小，除选择不同测量方法外，还确立了各种误差特征分类及分布规律，用来作误差处理。国际计量委员会通过的《BIPM实验不确定度的说明建议书INC-1 （1980）》（以下简称建议书）建议用不确定度（uncertainty）取代误差（error）来表示实验结果，并按其性质将不确定度从估计方法上分为按统计分布的A类不确定度和按非统计分布的B类不确定度两类，分别进行处理后再进行合成。从而使得“由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度”得到更科学的评估。由近年来关于不确定度的许多讨论文章及不确定度的定义，我们可以对误差和不确定度的关系理解为：测量中的不可靠量值为误差，导致测量结果的不可靠量值为不确定度。标准偏差较集中地反映了测量误差对实验结果的影响，而不确定度则综合了全部误差因素对实验结果的影响。但是，由于不确定度的运用仍在“建议”阶段以及它与误差的紧密联系，且误差从根本上说又是“一种粗略的估计”，所以不确定度的估算很难用简单的定义来解决，而是需要按实际情况合理地加以处理。笔者根据不同实验条件的具体情况，提出几点实验不确定度的实际处理方法。
1 高精度测量结果（误差正态分布时）不确定度的估算
参考《建议书》的精神，总不确定度u从估计方法上可分为A类不确定度和B类不确定度。A类不确定度是多次重复测量，用统计方法估算的不确定度分量；B类则是不能用统计方法估算的其他不确定度分量。
1.1 A类不确定度分量的估算
参考《建议书》的精神，总不确定度u从估计方法上可分为A类不确定度和B类不确定度。A类不确定度是多次重复测量，用统计方法估算的不确定度分量；B类则是不能用统计方法估算的其他不确定度分量。
1.1 A类不确定度分量的估算
此项分量（测量次数较多，n＞10时）一般直接由测量列平均值的标准偏差来近似估计，即
⑴
式中： 为有限次测量平均值的标准偏差； 为有限次测量列单次测量的标准偏差。
1.2 B类不确定度分量的估算
此项分量的估算，要对影响测量结果的各项进行仔细分析研究以确定其分布、大小、相关因子等，并用经验方法将其换算成与标准偏差有相同置信概率的分量，而最后合成。
1.3 总不确定度的估算
根据《建议书》要求，合成不确定度及其分量要用“标准偏差”的形式，即方和根的形式表示为
⑵
合成不确定度 乘以对应于某一置信概率P 的置信因子 ，则得到总不确定度u。
此类不确定度的估算属计量、标定及高精度测量（相对不确定度在0.001以内）等部门专业人员的工作，许多问题的分析已超出普通测量的要求范围。一般数据处理教材及国家计量技术标准中［１］都是以不确定度分布服从正态分布理论为依据的，这主要是由于目前正态分布的研究最完善，用其他分布分析测量结果的合成不确定度比较困难，而以近似正态分布来处理。
2 少次数测量情况下不确定度的估算
2.1 不确定度A类分量的估算
在许多情况下（如普通物理实验），一般测量次数不大于10（5＜n≤10）时，以算术平均值的标准偏差作为A类分量，仍以正态分布作测量结果的报道，则将出现较大偏差（偏小），从而夸大了实验的精确度［２］。这时，常以联系正态样本平均值 和偏差 的统计量 （ 为期望值）所服从的t分布（又称Student分布）来报道平均值的误差更为合理。可以推导：当5＜n≤10时，取 ，由t分布的概率数表可算得置信概率P，如表1。
表 1 置信概率表
Tab.1 Believe probability
|
测量次数n
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2
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3
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4
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5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
|
1.41
|
1.73
|
2
|
2.24
|
2.45
|
2.65
|
2.83
|
3
|
3.16
|
3.32
|
|
置信概率P
|
0.610
|
0.775
|
0.861
|
0.911
|
0.942
|
0.962
|
0.974
|
0.983
|
0.988 8
|
0.992
|
所以，以统计方式估计的A类分量不确定度 简化等于测量列的单次测量标准偏差［３］。
即 （n－1为自由度；P接近或大于95%）。
⑶
⑶
2.2 不确定度B类分量的估算
B类分量常以仪器误差 乘以与其分布有关的因子 简化表示［３］。如前所述，在少次数测量情况下，具体分析 的原因和确定 已超出了实验课程的要求范围。但是，因 为仪器的允许误差（检定规程或有关技术文件规定的计量器具所允许的极限值），则应有接近100%的置信概率（P≈0.99）。因而，大多数实验可简化近似 与 取相同置信因子P≥0.95 ，而直接将 当作总不确定度中B类分量（ 可从有关国家标准查得）。
2.3 总不确定度的估算
以 作为总不确定度A类分量， 为总不确定度的B类分量，按照方和根的合成形式，总不确定度可简化用下式求出
（P≥95%）
这一估计方法，与国际上工业技术和商务活动中所推荐的置信概率P=0.95，以及考虑实验的实际应用性而采用高置信度的做法相一致，也是与我国有关技术规范基本一致的比较简单、合理的估算方法，且在实验中用带有统计运算功能的计算器可方便地求得 和u。
3 普通精度实验不确定度的估算
3.1 A类不确定度的估算
普通精度测量（相对不确定度在0.01~0.001左右）如普通物理实验等，因精度要求较低，则可只讨论主要几个影响较大的误差分量而忽略其他微小分量。因不确定度的有效数字在普通测量中一般只取一位，此项可根据不确定度传递公式，将小于最大分量1/3之后的各项舍去，而后按测量列平均值的标准偏差公式计算（见式⑴）。
3.2 B类不确定度的估算
B类不确定度的估算，如能确定其分布规律，可按各自分布规律处理。一般情况下，因数理统计，误差分布等已超出普通测量讨论范围，可采用近似标准偏差来估算。如，当非统计不确定度相应的估计误差为正态分布时，取，非统计不确定度相应的估计误差为均匀分布（方法、环境、数字仪表等误差分布）时，取 等。式中Δ为非统计不确定度相应的估计误差限，常取为仪器误差 。
3.3 总不确定度的合成
把各分量按“标准偏差”的形式合成，其中包括按各自分布处理的分量及非统计分量按正态分布近似处理的非正态估算分量，且一般采用平均值的一倍标准偏差估算（P=0.683）。此类估算方法为一较好近似结果，且在普通精度测量的不确定度估算中，避免了许多次要影响量及复杂的处理过程［４］。
4 特殊情况不确定度的估算
如当B类不确定度较小（可忽略），则总不确定度直接用A类不确定度 表示。对于少次数测量，可用单次测量的标准偏差 表示，即 。
如，当 ，或因估计出的u对实验最后结果影响甚小，或因条件限制只进行了一次测量时，u可简单的用 表示。对于少次数测量，可直接以 表示，即 。
实验不确定度的估计是以严密的数理统计理论为基础的，而在绝大多数情况下实验者往往不具备数理统计、误差分布方面的专业知识，或没有必要作过多的复杂处理。本文所述的实验不确定度的几种近似估算方法，可在实际运用中作以参考。
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